Topic Model

1 主题模型

主题模型是一种特殊的概率图模型，可以识别两个不同的词或者词组是否具有相同的主题。

主题模型将相似/相关的词语聚集成簇，称为主题。

1.1 LSA（SVD）

潜在语义分析（Latent Semantic Analysis，LSA）是一种基于奇异值分解（SVD）的主题模型，通过降维将文本数据转换为低维的语义空间。

1.1.1 奇异值分解

特征值和特征向量对于一个矩阵 $A$ ，如果存在一个非零向量 $x$ ，使得 $Ax = \lambda x$ ，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值， $x$ 为 $A$ 的特征向量。

相似对角化对于一个矩阵 $A$ ，如果存在一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ ，其中 $B$ 是对角矩阵，则称 $A$ 被 $P$ 对角化。

对角矩阵指的是除了对角线上的元素外，其他元素都为0的矩阵。如：

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

但是不是所有的矩阵都可以对角化，满足矩阵可对角化的充分必要条件是：n阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

实对称矩阵实对称矩阵满足以下条件：

矩阵关于主对角线对称，即 $a_{ij} = a_{ji}$

例如：

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}

实对称矩阵的所有特征向量彼此正交，所以任何实对称矩阵都可以被正交对角化。

将矩阵 $P$ 正交化，形成矩阵 $Q$ ，则 $Q^TQ = I$ ，即 $Q$ 是正交矩阵。

A = PBP^{-1} = QBQ^T

奇异值分解更一般的情况，对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ ，存在两个正交矩阵 $U$ 和 $V$ ，使得：

A = U S V^T

其中 $S$ 是一个 $m \times n$ 的对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

于是，SVD将矩阵 $A$ 分解为三个矩阵的乘积，可以用于降维、特征提取等。

1.1.2 LSA的原理

假设我们有m篇文档，词表大小为n。我们希望从所有文档中提取出K个主题，其中K为用户输入的超参。

生成一个m×n维的文档-词项矩阵（Document-Term Matrix），矩阵元素为TF-IDF分数
LSA
使用SVD将上述矩阵的维度降到K维
SVD首先将矩阵 $A$ 分解为三个矩阵的乘积：
LSA
由于我们只需要前K个奇异值，所以只保留前K个奇异值，并相应地截断矩阵 $U$ 和 $V$ ，重新构造近似矩阵。
在这里，矩阵 $U_k$ 的每个行向量代表相应的文档。矩阵 $V_k$ 的每个行向量代表相应的词项。向量的长度均为K。
因此，SVD为每篇文档和每个词项都生成了向量表示，这些向量表示可以用于计算文档之间的相似度，或者词项之间的相似度。

1.1.3 手撕LSA

加载数据集，使用sklearn的fetch_20newsgroups加载新闻数据集

from sklearn.datasets import fetch_20newsgroups
dataset = fetch_20newsgroups(shuffle=True, random_state=1, remove=('header','footers',quotes'))
documents = dataset.data

数据预处理，包括去除标点符号、分词、去停用词、词干提取等

news_df = pd.DataFrame({'document':documents})

# removing everything except alphabets
news_df['clean_doc'] = news_df['document'].str.replace("[^a-zA-Z#]", " ")

# removing short words
news_df['clean_doc'] = news_df['clean_doc'].apply(lambda x: ' '.join([w for w in x.split() if len(w)>3]))

# make all text lowercase
news_df['clean_doc'] = news_df['clean_doc'].apply(lambda x: x.lower())

from nltk.corpus import stopwords
stop_words = set(stopwords.words('english'))

# tokenization
tokenized_doc = news_df['clean_doc'].apply(lambda x: x.split())

# remove stop-words
tokenized_doc = tokenized_doc.apply(lambda x: [item for item in x if item not in stop_words])

# de-tokenization
detokenized_doc = []
for i in range(len(news_df)):
    t = ' '.join(tokenized_doc[i])
    detokenized_doc.append(t)

news_df['clean_doc'] = detokenized_doc

创建文档-词项矩阵

使用sklearn的TfidfVectorizer创建文档-词项矩阵

from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer

vectorizer = TfidfVectorizer(stop_words='english', max_features=1000, max_df=0.5, smooth_idf=True)

X = vectorizer.fit_transform(news_df['clean_doc'])

使用SVD进行降维

from sklearn.decomposition import TruncatedSVD

svd_model = TruncatedSVD(n_components=20, algorithm='randomized', n_iter=100, random_state=42)

svd_model.fit(X)

print(len(svd_model.components_))

获取主题词

svd_model的组成部分是我们的主题词，我们可以通过svd_model.components_获取。

terms = vectorizer.get_feature_names()

for i, comp in enumerate(svd_model.components_):
    terms_comp = zip(terms, comp)
    sorted_terms = sorted(terms_comp, key=lambda x:x[1], reverse=True)[:7]
    print("Topic "+str(i)+": ")
    for t in sorted_terms:
        print(t[0])
    print(" ")

输出结果如下：

Topic 0: like know people think good time thanks

Topic 0: like know people think good time thanks

Topic 1: thanks windows card drive mail file advance

Topic 2: game team year games season players good

Topic 3: drive scsi disk hard card drives problem

Topic 4: windows file window files program using problem

Topic 5: government chip mail space information encryption data

Topic 6: like bike know chip sounds looks look

…

3.1.4 LSA的优缺点

优点
- LSA快速且易于实施
- 结果比简单的向量模型更好
缺点
- LSA是线性模型，在具有非线性依赖性的数据集上效果不佳
- LSA假设文本中的词项服从正态分布，可能不适用于所有问题
- SVD是计算密集型的，当新数据出现时难以更新

3.2 pLSA

LSA的根本问题在于，尽管我们可以把 $U_k$ 和 $V_k$ 看作文档和词项的向量表示，但是这两个矩阵并没有明确的语义解释。pLSA（Probabilistic Latent Semantic Analysis）通过引入概率模型来解决这个问题。

3.2.1 pLSA的原理

pLSA通过一个生成模型来为LSA提供概率意义上的解释。该模型假设，每篇文档都包括一系列可能的潜在主题。文档中的每个单词都不是凭空产生的，而是在这些潜在话题（即单词的概率分布）的指引下通过一定的概率生成的。

话题是单词的概率分布，文档是话题的概率分布，则单词是文档和话题的联合概率分布。

假设有M个单词集合 $W={w_1, w_2, ..., w_M}$ ，N个文档集合 $D={d_1, d_2, ..., d_N}$ ，K个主题集合 $Z={z_1, z_2, ..., z_K}$ 。概率分布 $P(d)$ 表示生成文档 $d$ 的概率， $P(w|z)$ 表示在主题 $z$ 下生成单词 $w$ 的概率， $P(z|d)$ 表示在文档 $d$ 中生成主题 $z$ 的概率。

则 $p(w|d)$ 的推导为：

p(w|d) = \sum_{z} p(w, z|d) = \sum_{z} p(w|z, d) p(z|d)

整个语料库中的概率生成可以用似然函数表示：

L = \prod_{d \in D} \prod_{w \in d} p(w, d)^{n_{dw}}

其中， $n_{dw}$ 表示文档 $d$ 中单词 $w$ 出现的次数。

推导后得：

L = \prod_{d \in D} \prod_{w \in d} \sum_{z} p(d) p(w|z, d) p(z|d)^{n_{dw}}

其中， $p(w|z, d)$ 和 $p(z|d)$ 是模型的参数，可以通过EM算法进行估计。

3.2.2 手撕pLSA

import numpy as np
from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
 
 
class PLSA:
    def __init__(self, num_topics, num_iterations):
        self.num_topics = num_topics
        self.num_iterations = num_iterations
        self.vocab = None
        self.num_words = None
        self.num_documents = None
        self.word_count = None
        self.P_z_given_d = None
        self.P_w_given_z = None
        self.P_z_given_dw = None
 
    def fit(self, documents):
        vectorizer = CountVectorizer()
        count_matrix = vectorizer.fit_transform(documents)
        self.vocab = vectorizer.get_feature_names_out()
        self.num_words = len(self.vocab)
        self.num_documents = count_matrix.shape[0]
        self.word_count = count_matrix.toarray()
 
        # Initialize parameters
        self.P_z_given_d = np.random.rand(self.num_documents, self.num_topics)
        self.P_w_given_z = np.random.rand(self.num_topics, self.num_words)
        self.P_z_given_dw = np.zeros((self.num_documents, self.num_words, self.num_topics))
 
        # Run EM algorithm
        for i in range(self.num_iterations):
            print(f'Iteration {i + 1}')
 
            # E-step
            for d in range(self.num_documents):
                for w in range(self.num_words):
                    denominator = np.sum(self.P_w_given_z[:, w] * self.P_z_given_d[d])
                    for z in range(self.num_topics):
                        numerator = self.P_w_given_z[z, w] * self.P_z_given_d[d, z]
                        self.P_z_given_dw[d, w, z] = numerator / denominator
 
            # M-step
            for z in range(self.num_topics):
                for w in range(self.num_words):
                    numerator = 0
                    for d in range(self.num_documents):
                        numerator += self.word_count[d, w] * self.P_z_given_dw[d, w, z]
                    self.P_w_given_z[z, w] = numerator / np.sum(self.word_count)
 
            for d in range(self.num_documents):
                for z in range(self.num_topics):
                    numerator = 0
                    for w in range(self.num_words):
                        numerator += self.word_count[d, w] * self.P_z_given_dw[d, w, z]
                    self.P_z_given_d[d, z] = numerator / np.sum(self.word_count[d, :])
 
    def transform(self, documents):
        vectorizer = CountVectorizer(vocabulary=self.vocab)
        count_matrix = vectorizer.fit_transform(documents)
        word_count = count_matrix.toarray()
        P_z_given_d = np.zeros((count_matrix.shape[0], self.num_topics))
 
        for d in range(count_matrix.shape[0]):
            for z in range(self.num_topics):
                numerator = 0
                for w in range(self.num_words):
                    numerator += word_count[d, w] * self.P_w_given_z[z, w] * self.P_z_given_d[d, z]
                P_z_given_d[d, z] = numerator / np.sum(word_count[d, :])
 
        return P_z_given_d

3.2.3 pLSA的优缺点

优点
- pLSA是一种概率模型，可以为LSA提供概率意义上的解释
- pLSA可以更好地捕捉文档和词项之间的关系
缺点
- pLSA是一种非凸优化问题，容易陷入局部最优解
- pLSA对于数据的噪声和稀疏性敏感
- pLSA无法处理新数据的出现

3.3 LDA

LDA（Latent Dirichlet Allocation）可以看作是pLSA的贝叶斯版本，它引入了Dirichlet先验分布来解决pLSA的一些问题。

3.3.1 二项分布和多项分布

二项分布是N次伯努利分布，即 $X \sim B(n, p)$ 。概率密度为：

P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

多项分布是二项分布拓展到多维的情况。多项分布是指在单次实验中的随机变量的取值不再是0和1，而是多个不同的值。多项分布的概率密度为：

P(X_1=k_1, X_2=k_2, ..., X_n=k_n) = \frac{n!}{k_1!k_2!...k_n!} p_1^{k_1} p_2^{k_2} ... p_n^{k_n}

其中， $p_1, p_2, ..., p_n$ 代表每个类别的概率，且 $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$ 。

3.3.2 共轭先验分布

如果后验概率 $P(\theta|X)$ 和先验概率 $P(\theta)$ 属于同一分布族，则称先验分布和后验分布是共轭分布。

P(\theta|X) = \frac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)}

对于二项分布，Beta分布是其共轭先验分布。对于多项分布，Dirichlet分布是其共轭先验分布。

3.3.3 Dirichlet分布

Dirichlet的概率密度函数为：

Dir(\theta|\alpha) = \frac{\Gamma(\sum_{i=1}^{K} \alpha_i)}{\prod_{i=1}^{K} \Gamma(\alpha_i)} \prod_{i=1}^{K} \theta_i^{\alpha_i - 1}

3.3.4 为什么引入Dirichlet先验分布

pLSA采用的是频率派观点，将每篇文章对应的主题分布 $P(z|d)$ 和每个主题对应的词分布 $P(w|z)$ 看成未知常数，并可以求解出来。LDA采用的是贝叶斯学派的观点，认为待估计的参数（主题分布和词分布）不再是一个固定的常数，而是服从一定分布的随机变量。这个分布符合一定的先验概率分布（即Dirichlet分布），通过观测数据来更新这个分布的参数。

3.3.3 LDA的原理

语料库的生成过程：

按照先验概率 $p(d_i)$ 选择一篇文档 $d_i$
从超参数 $\alpha$ 的Dirichlet分布中抽样生成文档 $d_i$ 的主题分布 $\theta_i$
对于文档 $d_i$ 中的每个词 $w_{ij}$ ：
- 从文档 $d_i$ 的主题分布 $\theta_i$ 中抽样生成词 $w_{ij}$ 的主题 $z_{ij}$
从超参数 $\beta$ 的Dirichlet分布中抽样生成主题 $z_{ij}$ 的词分布 $\phi_{z_{ij}}$
从词分布 $\phi_{z_{ij}}$ 中抽样生成词 $w_{ij}$

在PLSA中，会使用固定的概率来抽取主题词，主题分布和词分布都是唯一确定的。而在LDA中，主题分布和词分布是不确定的，它们是服从Dirichlet分布的随机变量。

3.3.4 LDA的实现

TODO：参考baidu https://github.com/baidu/Familia/wiki

参考资料

https://blog.csdn.net/mch2869253130/article/details/100629262
https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-12-07-10
https://zhuanlan.zhihu.com/p/71027182
https://blog.csdn.net/zhong_ddbb/article/details/106317068
https://blog.csdn.net/daishabby2486/article/details/129837268
https://zhuanlan.zhihu.com/p/31470216
https://dl.acm.org/doi/pdf/10.5555/944919.944937

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Last updated 5 months ago